Conversione da decimale in virgola fissa

Conversione in formato modulo/segno

• si calcola il valore assoluto del numero
• si converte la parte intera eseguendo delle divisioni per due fino a quando il quoziente è 0; i resti, letti dal baso verso l'alto, rappresentano la conversione
• si converte la parte frazionaria eseguendo delle moltiplicazioni per due; le unità, lette dall'alto verso il basso, rappresentano la conversione
• si ricompone il numero, allineandolo nella maschera di bit a disposizione
• se il numero era negativo, si sostituisce il primo bit (quello più a sinistra) con 1, altrimenti si lascia a 0

Negli esempi che seguono supponiamo 1 bit segno, 8 bit parte intera, 7 bit parte frazionaria.

Esempio: -14,25

14:2=7 R=0	0
 7:2=3 R=1	1
 3:2=1 R=1	2
 1:2=0 R=1	3

0,25*2=0,5	U=0	-1
0,5 *2=1,0	U=1	-2
0   (termino conversione perché ho incontrato 0)

Esempio: -123,21

Conversione in formato complemento a 2

Negli esempi che seguono supponiamo 1 bit segno, 8 bit parte intera, 7 bit parte frazionaria.

Esempio: -14,25

14:2=7 R=0	0
 7:2=3 R=1	1
 3:2=1 R=1	2
 1:2=0 R=1	3

0,25*2=0,5	U=0	-1
0,5 *2=1,0	U=1	-2
0   (termino conversione perché ho incontrato 0)

Esempio: -123,21

Il problema della precisione finita. Numeri aperiodici, periodici con e senza antiperiodo

Esempio: -14,25 (numero aperiodico)

14:2=7 R=0	0
 7:2=3 R=1	1
 3:2=1 R=1	2
 1:2=0 R=1	3

0,25*2=0,5	U=0	-1
0,5 *2=1,0	U=1	-2
0   (termino conversione perché ho incontrato 0)

Esempio: -14,2 (numero con periodo)

14:2=7 R=0	0
 7:2=3 R=1	1
 3:2=1 R=1	2
 1:2=0 R=1	3

0,2 *2=0,4	U=0	-1
0,4 *2=0,8	U=0	-2
0,8 *2=1,6	U=1	-3
0,6 *2=1,2	U=1	-4
0,2 (termino conversione perché ho già incontrato questo numero)

Esempio: -14,3 (numero con periodo e antiperiodo)

14:2=7 R=0	0
 7:2=3 R=1	1
 3:2=1 R=1	2
 1:2=0 R=1	3

0,3 *2=0,6	U=0	-1
0,6 *2=1,2	U=1	-2
0,2 *2=0,4	U=0	-3
0,4 *2=0,8	U=0	-4
0,8 *2=1,6	U=1	-5
0,6 (termino conversione perché ho già incontrato questo numero)

Esempio: -14,33 (numero aperiodico entro la mantissa)

14:2=7 R=0	0
 7:2=3 R=1	1
 3:2=1 R=1	2
 1:2=0 R=1	3

0,33*2=0,66	U=0	-1
0,66*2=1,32	U=1	-2
0,32*2=0,64	U=0	-3
0,64*2=1,28	U=1	-4
0,28*2=0,56	U=0	-5
0,56*2=1,12	U=1	-6
0,12*2=0,24	U=0	-7
0,24*2=0,48	U=0	-8
0,48*2=0,96	U=0	-9
0,96*2=1,92	U=1	-10
0,92*2=1,84	U=1	-11
0,84*2=1,68	U=1	-12
0,68*2=0,36	U=0	-13
0,36*2=0,72	U=0	-14
0,72*2=1,44	U=0	-15
0,44*2=0,88	U=0	-16
0,88 ... (termino conversione perché sono finiti i bit disponibili per la parte frazionaria)

0,88*2=1,76	U=1	-17
0,76*2=1,52	U=1	-18
0,52*2=1,04	U=1	-19
0,04*2=0,08	U=0	-20
0,08*2=0,16	U=0	-21
0,16*2=0,32	U=0	-22
0,32 (termino conversione perché ho già incontrato questo numero)

Conversione da decimale in virgola mobile (in formato P754)

Esistono diversi modi per rappresentare numeri in virgola mobile, ma il sistema più utilizzato è lo standard IEEE-P754; questo metodo comporta l'utilizzo della notazione scientifica, in cui ogni numero è identificato dal segno, da una mantissa (1,xxxxx) e dall'esponente (n^yyyyy).

La procedura standard per la conversione da numero decimale a numero binario P754 è la seguente:

• Prima di tutto il numero, in valore assoluto, va convertito in binario.
• Il numero va poi diviso (o moltiplicato) per 2 fino a ottenere una forma del tipo 1,xxxxxx (normalizzazione).
• Di questo numero viene eliminato l'1 iniziale (per risparmiare memoria) [hidden bit]
• Il numero di volte per cui il numero è stato diviso (o moltiplicato, e nel qual caso il valore sarà negativo) per 2 rappresenta l'esponente: questo valore (decimale) va espresso in eccesso h, ovvero è necessario sommare h e convertire il numero risultante in binario. Il valore di h dipende dalla rappresentazione:
  • h=15, nel caso di rappresentazione in half-precision
  • h=127, nel caso di rappresentazione in single-precision
  • h=1023, nel caso di rappresentazione in double-precision
• A questo punto ho raccolto tutti i dati necessari per memorizzare il numero: in base al numero di bit che ho a disposizione possiamo utilizzare vari formati:
  • Half-precision format (16 bits): 1 bit per il segno, 5 bit per l'esponente (bias 15) e 10 bit per la mantissa;
  • Single-precision format (32 bits): 1 bit per il segno, 8 bit per l'esponente (bias 127) e 23 bit per la mantissa;
  • Double-precision format (64 bits): 1 bit per il segno, 11 bit per l'esponente (bias 1023) e 52 per la mantissa;
  • Quad-precision format (128 bits): 1 bit per il segno, 15 bit per l'esponente (bias 16383) e 112 per la mantissa.

Esempio1

Convertire in floating point IEEE-754 il numero -14,3125₁₀.

Escludo temporaneamente il segno e converto (in binario) prima la parte intera: 14₁₀ = 1110₂

14:2=7 R=0	0
 7:2=3 R=1	1
 3:2=1 R=1	2
 1:2=0 R=1	3

0,3125*2=0,625   U=0
0,625 *2=1,25    U=1
0,25  *2=0,5     U=0
0,5   *2=1       U=1
0   (termino conversione perché ho incontrato 0)

Ora normalizzo il numero, spostando la virgola di 3 posizioni verso sinistra: 1110,0101₂ = 1,1100101₂ * 2³.

Una volta eliminato l'hidden bit, la mantissa diventa quindi 1100101, mentre l'esponente è 3.

Single-precision

Completo la mantissa con zeri fino ad arrivare ai 16 bit a mia disposizione.

Esprimo l'esponente in eccesso 127: 127 + 3 = 130₁₀ = 10000010₂

Mettendo ad 1 il bit di segno (in quanto siamo partiti da un numero negativo) e completando con zeri la mantissa, risulta quindi:

Half-precision

Completo la mantissa con zeri fino ad arrivare ai 10 bit a mia disposizione.

Esprimo l'esponente in eccesso 15: 15 + 3 = 18₁₀ = 10010₂

Mettendo ad 1 il bit di segno (in quanto siamo partita da un numero negativo) e completando con zeri la mantissa, risulta quindi:

Esempio2 (Trasformazione in virgola fissa)

Convertire in floating point IEEE-754 il numero -5,828125₁₀.

Escludo temporaneamente il segno e converto (in binario) prima la parte intera:

5:2=2 R=1	0
2:2=1 R=0	1
1:2=0 R=1	2

e poi converto (in binario) la parte frazionaria:

0,828125*2=1,65625 U=1	-1
0,65625 *2=1,3125  U=1	-2
0,3125  *2=0,625   U=0	-3
0,625   *2=1,25    U=1	-4
0,25    *2=0,5     U=0	-5
0,5     *2=1       U=1	-6

Esempio2 (Trasformazione in virgola mobile, continua da esempio precedente)

Ora normalizzo il numero, spostando la virgola due posizioni verso sinistra:

Una volta eliminato l'hidden bit, la mantissa diventa quindi 01110101, mentre l'esponente è 2.

Single-precision

Esprimo l'esponente in eccesso 127 (sommando 2 al bias):

Trasformiamo questo numero in binario:

129:2=64 R=1	0
 64:2=32 R=0	1
 32:2=16 R=0	2
 16:2= 8 R=0	3
  8:2= 4 R=0	4
  4:2= 2 R=0	5
  2:2= 1 R=0	6
  1:2= 0 R=1	7

Mettendo ad 1 il bit del segno in quanto siamo partiti da un numero negativo, e completando con zeri la mantissa, risulta quindi:

Half-precision

Esprimo l'esponente in eccesso 15 (sommando 2 al bias):

Trasformiamo questo numero in binario:

 17:2= 8 R=1	0
  8:2= 4 R=0	1
  4:2= 2 R=0	2
  2:2= 1 R=0	3
  1:2= 0 R=1	4

Mettendo ad 1 il bit del segno in quanto siamo partiti da un numero negativo, e di completando con zeri la mantissa, risulta quindi:

Esempi di conversione in floating point IEEE-754

parte intera
49|1 0
24|0 1
12|0 2
 6|0 3
 3|1 4
 1|1 5
 0

parte frazion.
0.526|1 -1
0.052|0 -2
0.104|0 -3
0.208|0 -4
0.416|0 -5
0.832……………
…………………………

parte intera
625|1 0
312|0 1
156|0 2
 78|0 3
 39|1 4
 19|1 5
  9|1 6
  4|0 7
  2|0 8
  1|1 9
  0

parte frazion.
0.00137|0 -1
0.00274……………
………………………………

parte intera
 3|1 0
 1|1 1
 0

parte frazion.
0.14|0 -1
0.28|0 -2
0.56|1 -3
0.12|0 -4
0.24|0 -5
0.48|0 -6
0.96|1 -7
0.92|1 -8
0.84|1 -9
0.68

parte intera
2990|0  0
1495|1  1
 747|1  2
 373|1  3
 186|0  4
  93|1  5
  46|0  6
  23|1  7
  11|1  8
   5|1  9
   2|0 10
   1|1 11
   0

parte frazion.
0.00885|0  -1
0.0177 |0  -2
0.0354 |0  -3
0.0708 |0  -4
0.1416 |0  -5
0.2832 |0  -6
0.5664 |1  -7
0.1328 |0  -8
0.2656 |0  -9
0.5312 |1 -10
0.0624 |0 -11
0.1248 |0 -12
0.2496 |0 -13
0.4992 |0 -14
0.9984 |1 -15
0.9968 |1 -16
0.9936 |1 -17
0.9872	

Appendice di ripasso

NUMERO DECIMALE

• LIMITATO
• ILLIMITATO
  • NON PERIODICO (irrazionali)
  • PERIODICO
    • SEMPLICE (se dopo la virgola c'è subito il periodo)
    • MISTO (se dopo la virgola c'è l'antiperiodo seguito dal periodo)

Da numero decimale a frazione generatrice

• La frazione generatrice di un numero decimale limitato è una frazione avente:
  • a numeratore il numero senza virgola;
  • a denominatore un 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali.
  Esempi:
  • 1,01 = 101/100 = \( \frac{101}{100} \)
  • 0,11 = 11/100 = \( \frac{11}{100} \)
  • 32,1 = 321/10 = \( \frac{321}{10} \)
• La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice è una frazione avente:
  • al numeratore la differenza tra l'intero numero scritto senza la virgola e la parte intera;
  • al denominatore tanti nove quante sono le cifre che compongono il periodo.
  Esempi:
  • 22,3 = (223-22)/9 = 201/9 = \( \frac{201}{9} \)
  • 0,29 = (29-0)/99 = 29/99 = \( \frac{29}{99} \)
  • 1,213 = (1213-1)/999 = 1212/999 = \( \frac{1212}{999} \) = 404/333 = \( \frac{404}{333} \)
• La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è una frazione con:
  • a numeratore la differenza tra l'intero numero senza virgola e tutto ciò che non fa parte del periodo;
  • a denominatore tanti nove quante sono le cifre che compongono il periodo, seguiti da tanti zeri quanti sono le cifre dell'antiperiodo.
  Esempi:
  • 2,23 = (223-22)/90 = 201/90 = \( \frac{201}{90} \) = 67/30 = \( \frac{67}{30} \)
  • 0,23 = (23-2)/90 = 21/90 = \( \frac{21}{90} \) = 7/30 = \( \frac{7}{30} \)
  • 1,213 = (1213-121)/900 = 1092/900 = \( \frac{1092}{900} \) = 91/75 = \( \frac{91}{75} \)

Da frazione generatrice a numero decimale

• se non ci sono fattori primi (il denominatore è 1) → numero intero (frazione apparente);
  Esempio: 18/9 = 2/1. fattori primi denominatore: nessuno → 2
• se tra i fattori primi appaiono solo 2 e 5 → numero decimale limitato;
  Esempio: 12/32 = 3/8. fattori primi denominatore: 2 → 0,375
• se tra i fattori primi non appaiono né il 2 né il 5 → numero decimale illimitato periodico semplice;
  Esempio: 12/18 = 2/3. fattori primi denominatore: 3 → 0,6
• se tra i fattori primi appaiono altri numeri primi oltre al 2 o al 5 → numero decimale illimitato periodico misto.
  Esempio: 2/12 = 1/6. fattori primi denominatore: 2 e 3 → 0,16

Come cambiano le regole se la base di destinazione non è 10 (ad esempio 2)?

• se non ci sono fattori primi (il denominatore è 1), ovvero se il numero in base 10 è intero → numero binario intero;
  Esempio: 13 = 1101₂
• se fra i fattori c'è solo 2 → numero binario limitato;
  Esempio: 0,25 = 25/100 = 1/4 = 0,01₂
• se fra i fattori primi non c'è il 2 → numero binario illimitato periodico semplice;
  Esempio: 0,2 = 20/100 = 1/5 = 0,0011₂
• se fra i fattori primi ci sono sia il 2 che altri fattori → numero binario illimitato periodico misto;
  Esempio: 0,3 = 30/100 = 3/10 = 0,01001₂
• Non otterrò mai un numero binario illimitato non periodico, vista la precisione finita del numero in input.

// @brief Algoritmo (salvo errori)
// @author Roberto Foschini
// @date 31/01/2022
// @param $num di una frazione generatrice
// @param $den di una frazione generatrice

// semplifico la frazione
$num /= gcd($num, $den);
$den /= gcd($num, $den)

// $lap = lunghezza antiperiodo (dipende solo da $den)
for ($lap=0; $den%2==0; ++$lap)
	$den/=2;

// $lp = lunghezza periodo (dipende solo da $den)
for ($r=1, $lp=0; $r>1 || $lp==0; ++$lp)
	$r = ($r*2) % $den;

// determino la tipologia di numero binario
if($den==1)
	return $lap;	// binario limitato con $lap cifre binarie
else {
	if($lap==0)
		return $lp;	// binario illimitato periodico con $lp cifre binarie
	else
		return $lap, $lp;	// binario illimitato misto con $lap|$lp cifre binarie
}