Conversione da decimale in virgola fissa

Esistono diversi modi per rappresentare numeri in virgola fissa, ma il sistema più utilizzato è quello in modulo/segno (analogamente alla conversione in virgola mobile). Tuttavia, talvolta si usa anche la conversione in complemento a 2.

Conversione in formato modulo/segno

Si procede come segue:

si calcola il valore assoluto del numero
si converte la parte intera eseguendo delle divisioni per due fino a quando il quoziente è 0; i resti, letti dal baso verso l'alto, rappresentano la conversione
si converte la parte frazionaria eseguendo delle moltiplicazioni per due; le unità, lette dall'alto verso il basso, rappresentano la conversione
si ricompone il numero, allineandolo nella maschera di bit a disposizione
se il numero era negativo, si sostituisce il primo bit (quello più a sinistra) con 1, altrimenti si lascia a 0

Negli esempi che seguono supponiamo 1 bit segno, 8 bit parte intera, 7 bit parte frazionaria.

Esempio: -14,25

Escludo temporaneamente il segno e converto prima la parte intera: 14₁₀ = 1110₂

14:2=7 R=0	0
 7:2=3 R=1	1
 3:2=1 R=1	2
 1:2=0 R=1	3

e poi la parte frazionaria: 0,25₁₀=0,01₂ (riempio il resto della parte frazionaria con 0).

0,25*2=0,5	U=0	-1
0,5 *2=1,0	U=1	-2
0   (termino conversione perché ho incontrato 0)

Risultato(valore assoluto): 14,25₁₀ = 1110,01₂
Infine estendo il numero (al numero di bit effettivo) e cambio il primo bit (segno):
Risultato(modulo/segno): -14,25₁₀ = 10001110,01₂

Esempio: -123,21

Conversione in formato complemento a 2

Come per la conversione precedente, per questa conversione si procede convertendo il valore assoluto del numero (sia parte intera che parte frazionaria). Fatto questo però, si esegue il NOT del numero e si somma 1 al bit meno significativo (che vale 1) della parte frazionaria, gestendo gli eventuali riporti.

Negli esempi che seguono supponiamo 1 bit segno, 8 bit parte intera, 7 bit parte frazionaria.

Esempio: -14,25

Escludo temporaneamente il segno e converto prima la parte intera: 14₁₀ = 1110₂

14:2=7 R=0	0
 7:2=3 R=1	1
 3:2=1 R=1	2
 1:2=0 R=1	3

e poi la parte frazionaria: 0,25₁₀=0,01₂ (riempio il resto della parte frazionaria con 0).

0,25*2=0,5	U=0	-1
0,5 *2=1,0	U=1	-2
0   (termino conversione perché ho incontrato 0)

Risultato(valore assoluto): 14,25₁₀ = 1110,01₂
Infine estendo il numero (al numero di bit effettivo), ne eseguo il NOT e aggiungo 1 al bit meno significativo:
Risultato(complemento a 2): -14,25₁₀ = 11110001,10₂ + 00000000,01₂ = 11110001,11₂
La verifica che i due numeri opposti hanno somma 0 viene lasciata al lettore: 00001110,01₂ + 11110001,11₂ = ?

Esempio: -123,21

Escludo temporaneamente il segno e converto prima la parte intera: 123₁₀ = 1111011₂ e poi la parte frazionaria: 0,21₁₀=0,001101₂ (approssimato).
Risultato(valore assoluto): 123,21₁₀ = 1111011,001101₂
Infine estendo il numero (al numero di bit effettivo), ne eseguo il NOT e aggiungo 1 al bit meno significativo:
a) Risultato(complemento a 2): -123,21₁₀ = 10000100,110010₂ + 00000000,000001₂ = 10000100,110011₂
b) Risultato(complemento a 2): -123,21₁₀ = (-(123₁₀)) + (-(0,21₁₀)) = 10000101₂ + 11111111,110011₂ = 10000100,110011₂

Il problema della precisione finita. Numeri aperiodici, periodici con e senza antiperiodo

Supponiamo di voler convertire alcuni numeri in virgola fissa (formato modulo/segno), avendo a disposizione un totale di 24 bit, di cui: 1 bit di segno, 7 cifre di parte intera e 16 cifre di parte frazionaria. Notare che 23 bit di mantissa sono gli stessi presenti in IEEE-754 (singola precisione)

Esempio: -14,25 (numero aperiodico)

Escludo temporaneamente il segno e converto prima la parte intera: 14₁₀ = 1110₂

14:2=7 R=0	0
 7:2=3 R=1	1
 3:2=1 R=1	2
 1:2=0 R=1	3

e poi la parte frazionaria: 0,25₁₀=0,01₂ (riempio il resto della parte frazionaria con 0).

0,25*2=0,5	U=0	-1
0,5 *2=1,0	U=1	-2
0   (termino conversione perché ho incontrato 0)

Risultato(valore assoluto): 1110,01₂

Esempio: -14,2 (numero con periodo)

Escludo temporaneamente il segno e converto prima la parte intera: 14₁₀ = 1110₂

14:2=7 R=0	0
 7:2=3 R=1	1
 3:2=1 R=1	2
 1:2=0 R=1	3

e poi la parte frazionaria: 0,2₁₀=0,0011₂ (tutte le cifre dopo la virgola costituiscono il periodo).

0,2 *2=0,4	U=0	-1
0,4 *2=0,8	U=0	-2
0,8 *2=1,6	U=1	-3
0,6 *2=1,2	U=1	-4
0,2 (termino conversione perché ho già incontrato questo numero)

Risultato(valore assoluto): 1110,0011₂

Esempio: -14,3 (numero con periodo e antiperiodo)

Escludo temporaneamente il segno e converto prima la parte intera: 14₁₀ = 1110₂

14:2=7 R=0	0
 7:2=3 R=1	1
 3:2=1 R=1	2
 1:2=0 R=1	3

e poi la parte frazionaria: 0,3₁₀ = 0,01001₂ (il primo zero dopo la virgola costituisce l'antiperiodo, le cifre rimanenti costituiscono il periodo).

0,3 *2=0,6	U=0	-1
0,6 *2=1,2	U=1	-2
0,2 *2=0,4	U=0	-3
0,4 *2=0,8	U=0	-4
0,8 *2=1,6	U=1	-5
0,6 (termino conversione perché ho già incontrato questo numero)

Risultato(valore assoluto): 1110,01001₂

Esempio: -14,33 (numero aperiodico entro la mantissa)

Escludo temporaneamente il segno e converto prima la parte intera: 14₁₀ = 1110₂

14:2=7 R=0	0
 7:2=3 R=1	1
 3:2=1 R=1	2
 1:2=0 R=1	3

e poi la parte frazionaria: 0,33₁₀ = 0,0101010001111010₂.

0,33*2=0,66	U=0	-1
0,66*2=1,32	U=1	-2
0,32*2=0,64	U=0	-3
0,64*2=1,28	U=1	-4
0,28*2=0,56	U=0	-5
0,56*2=1,12	U=1	-6
0,12*2=0,24	U=0	-7
0,24*2=0,48	U=0	-8
0,48*2=0,96	U=0	-9
0,96*2=1,92	U=1	-10
0,92*2=1,84	U=1	-11
0,84*2=1,68	U=1	-12
0,68*2=1,36	U=1	-13
0,36*2=0,72	U=0	-14
0,72*2=1,44	U=1	-15
0,44*2=0,88	U=0	-16
0,88 ... (termino conversione perché sono finiti i bit disponibili per la parte frazionaria)

Risultato(valore assoluto): 1110,0101010001111010₂
Notiamo che se avessimo avuto a disposizione qualche ulteriore bit per la parte frazionaria, avremmo notato che il numero è periodico (con antiperiodo).
La parte frazionaria sarebbe risultata: 0,33₁₀ = 0,0101010001111010111000₂. Infatti:

0,88*2=1,76	U=1	-17
0,76*2=1,52	U=1	-18
0,52*2=1,04	U=1	-19
0,04*2=0,08	U=0	-20
0,08*2=0,16	U=0	-21
0,16*2=0,32	U=0	-22
0,32 (termino conversione perché ho già incontrato questo numero)

Risultato(valore assoluto): 1110,0101010001111010111000₂

Perché alcuni numeri limitati in base 10 diventano periodici in base 2? Vedi Numeri periodici e frazione generatrice.

Conversione da decimale in virgola mobile (in formato P754)

Esistono diversi modi per rappresentare numeri in virgola mobile, ma il sistema più utilizzato è lo standard IEEE-P754; questo metodo comporta l'utilizzo della notazione scientifica, in cui ogni numero è identificato dal segno, da una mantissa (1,xxxxx) e dall'esponente (n^yyyyy).

La procedura standard per la conversione da numero decimale a numero binario P754 è la seguente:

Prima di tutto il numero, in valore assoluto, va convertito in binario.
Il numero va poi diviso (o moltiplicato) per 2 fino a ottenere una forma del tipo 1,xxxxxx (normalizzazione).
Di questo numero viene eliminato l'1 iniziale (per risparmiare memoria) [hidden bit]
Il numero di volte per cui il numero è stato diviso (o moltiplicato, e nel qual caso il valore sarà negativo) per 2 rappresenta l'esponente: questo valore (decimale) va espresso in eccesso h, ovvero è necessario sommare h e convertire il numero risultante in binario. Il valore di h dipende dalla rappresentazione:
- h=15, nel caso di rappresentazione in half-precision
- h=127, nel caso di rappresentazione in single-precision
- h=1023, nel caso di rappresentazione in double-precision
A questo punto ho raccolto tutti i dati necessari per memorizzare il numero: in base al numero di bit che ho a disposizione possiamo utilizzare vari formati:
- Half-precision format (16 bits): 1 bit per il segno, 5 bit per l'esponente (bias 15) e 10 bit per la mantissa;
- Single-precision format (32 bits): 1 bit per il segno, 8 bit per l'esponente (bias 127) e 23 bit per la mantissa;
- Double-precision format (64 bits): 1 bit per il segno, 11 bit per l'esponente (bias 1023) e 52 per la mantissa;
- Quad-precision format (128 bits): 1 bit per il segno, 15 bit per l'esponente (bias 16383) e 112 per la mantissa.

Come si può vedere, se k è il numero di bit occupati dall'esponente, il bias vale 2^k-1-1. Ricordo che il valore 2^k-1 (tutti i bit a 1) è riservato per scopi specifici (NaN, Inf, etc).

Esempio1

Convertire in floating point IEEE-754 il numero -14,3125₁₀.

Escludo temporaneamente il segno e converto (in binario) prima la parte intera: 14₁₀ = 1110₂

14:2=7 R=0	0
 7:2=3 R=1	1
 3:2=1 R=1	2
 1:2=0 R=1	3

e poi converto (in binario) la parte frazionaria: 0,3125₁₀ = 0,0101₂.

0,3125*2=0,625   U=0
0,625 *2=1,25    U=1
0,25  *2=0,5     U=0
0,5   *2=1       U=1
0   (termino conversione perché ho incontrato 0)

Risultato(valore assoluto): 1110,0101₂

Ora normalizzo il numero, spostando la virgola di 3 posizioni verso sinistra: 1110,0101₂ = 1,1100101₂ * 2³.

Una volta eliminato l'hidden bit, la mantissa diventa quindi 1100101, mentre l'esponente è 3.

Single-precision

Completo la mantissa con zeri fino ad arrivare ai 23 bit a mia disposizione.

Esprimo l'esponente in eccesso 127: 127 + 3 = 130₁₀ = 10000010₂

Mettendo ad 1 il bit di segno (in quanto siamo partiti da un numero negativo) e completando con zeri la mantissa, risulta quindi:

-14.3125₁₀=1 10000010 11001010000000000000000_P754/single

Half-precision

Completo la mantissa con zeri fino ad arrivare ai 10 bit a mia disposizione.

Esprimo l'esponente in eccesso 15: 15 + 3 = 18₁₀ = 10010₂

Mettendo ad 1 il bit di segno (in quanto siamo partita da un numero negativo) e completando con zeri la mantissa, risulta quindi:

-14.3125₁₀=1 10010 1100101000_P754/half

Esempio2 (Trasformazione in virgola fissa)

Convertire in floating point IEEE-754 il numero -5,828125₁₀.

Escludo temporaneamente il segno e converto (in binario) prima la parte intera:

5:2=2 R=1	0
2:2=1 R=0	1
1:2=0 R=1	2

5₁₀ = 101₂

e poi converto (in binario) la parte frazionaria:

0,828125*2=1,65625 U=1	-1
0,65625 *2=1,3125  U=1	-2
0,3125  *2=0,625   U=0	-3
0,625   *2=1,25    U=1	-4
0,25    *2=0,5     U=0	-5
0,5     *2=1       U=1	-6

0,828125₁₀ = 0,110101₂

Risultato(valore assoluto): 101,110101₂

Esempio2 (Trasformazione in virgola mobile, continua da esempio precedente)

Ora normalizzo il numero, spostando la virgola due posizioni verso sinistra:

1,01110101*2²

Una volta eliminato l'hidden bit, la mantissa diventa quindi 01110101, mentre l'esponente è 2.

Single-precision

Esprimo l'esponente in eccesso 127 (sommando 2 al bias):

127+2=129

Trasformiamo questo numero in binario:

129:2=64 R=1	0
 64:2=32 R=0	1
 32:2=16 R=0	2
 16:2= 8 R=0	3
  8:2= 4 R=0	4
  4:2= 2 R=0	5
  2:2= 1 R=0	6
  1:2= 0 R=1	7

129₁₀=10000001₂

Mettendo ad 1 il bit del segno in quanto siamo partiti da un numero negativo, e completando con zeri la mantissa, risulta quindi:

-5,828125₁₀=1 1000 0001 0111 0101 0000 0000 0000 000_P754/single

Half-precision

Esprimo l'esponente in eccesso 15 (sommando 2 al bias):

15+2=17

Trasformiamo questo numero in binario:

 17:2= 8 R=1	0
  8:2= 4 R=0	1
  4:2= 2 R=0	2
  2:2= 1 R=0	3
  1:2= 0 R=1	4

Mettendo ad 1 il bit del segno in quanto siamo partiti da un numero negativo, e di completando con zeri la mantissa, risulta quindi:

-5,828125₁₀=1 10 001 0111 0101 00_P754/half

Esempi di conversione in floating point IEEE-754

	Esempio1	Esempio2	Esempio3	Esempio4	Esempio5
Numero da convertire	-49.526 (single prec)	625.00137 (single prec)	3.14 (half prec)	2.99E+3 (half prec)	8.85E-3 (half prec)
	parte intera 49\|1 0 24\|0 1 12\|0 2 6\|0 3 3\|1 4 1\|1 5 0 parte frazion. 0.526\|1 -1 0.052\|0 -2 0.104\|0 -3 0.208\|0 -4 0.416\|0 -5 0.832…………… …………………………	parte intera 625\|1 0 312\|0 1 156\|0 2 78\|0 3 39\|1 4 19\|1 5 9\|1 6 4\|0 7 2\|0 8 1\|1 9 0 parte frazion. 0.00137\|0 -1 0.00274…………… ………………………………	parte intera 3\|1 0 1\|1 1 0 parte frazion. 0.14\|0 -1 0.28\|0 -2 0.56\|1 -3 0.12\|0 -4 0.24\|0 -5 0.48\|0 -6 0.96\|1 -7 0.92\|1 -8 0.84\|1 -9 0.68	parte intera 2990\|0 0 1495\|1 1 747\|1 2 373\|1 3 186\|0 4 93\|1 5 46\|0 6 23\|1 7 11\|1 8 5\|1 9 2\|0 10 1\|1 11 0	parte frazion. 0.00885\|0 -1 0.0177 \|0 -2 0.0354 \|0 -3 0.0708 \|0 -4 0.1416 \|0 -5 0.2832 \|0 -6 0.5664 \|1 -7 0.1328 \|0 -8 0.2656 \|0 -9 0.5312 \|1 -10 0.0624 \|0 -11 0.1248 \|0 -12 0.2496 \|0 -13 0.4992 \|0 -14 0.9984 \|1 -15 0.9968 \|1 -16 0.9936 \|1 -17 0.9872
In virgola fissa	110001,10000…	1001110001,0…	11,001000111	101110101110	0,00000010010000111
Normalizzazione	1,1000110000…*2⁵	1,0011100010…*2⁹	1,1001000111*2¹	1,0111010111*2¹¹	1,0010000111*2^-7
Biasing esponente e conv. in binario	127+5=132 → 10000100₂	127+9=136 → 10001000₂	15+1=16 → 10000₂	15+11=26 → 11010₂	15-7=8 → 01000₂
Risultato	1 10000100 1000110000…	0 10001000 0011100010…	0 10000 1001000111	0 11010 0111010111	0 01000 0010000111

Altri esempi rapidi

Esempio: 3.75 in single precision

3.75₁₀ = 11.11₂ = 1.111₂ × 2¹

Segno: 0 (positivo)

Esponente: 1 + 127 = 128 = 10000000₂

Mantissa: 11100000000000000000000 (23 bit)

Risultato: 0 10000000 11100000000000000000000

Esempio: -0.125 in single precision

-0.125₁₀ = -0.001₂ = -1.0₂ × 2^-3

Segno: 1 (negativo)

Esponente: -3 + 127 = 124 = 01111100₂

Mantissa: 00000000000000000000000

Risultato: 1 01111100 00000000000000000000000

Per approfondimenti:

Convertitore IEEE 754 (strumento interattivo)
Calcoli tramite foglio elettronico
Calcoli tramite foglio elettronico E
Calcoli tramite foglio elettronico Z
Numeri periodici e frazione generatrice