È l'insieme dei numeri complessi c per i quali la successione definita da: è limitata.
Nonostante la semplicità della definizione, l'insieme ha una forma complessa il cui contorno è un frattale. Solo con l'avvento del computer è stato possibile visualizzarlo.
Sia il numero complesso il punto di partenza [Nota: nella porzione di piano considerata -2 ≤ x ≤ 2; -2 ≤ y ≤ 2]
Risulteranno in sequenza le seguenti iterazioni:
Z0 = 0 Z1 = Z0² + c = +0.45 +0.64i; distanza = 0.78 Z2 = Z1² + c = +0.24 +1.21i; distanza = 1.24 Z3 = Z2² + c = -0.97 +1.23i; distanza = 1.57 Z4 = Z3² + c = -0.12 -1.72i; distanza = 1.75 Z5 = Z4² + c = -2.59 +1.07i; distanza = 2.80
La distanza > 2 viene raggiunta alla quinta tappa: il punto viene disegnato con il colore numero 6.
Ad ogni numero tra 0 e 15 corrisponde un colore. Il colore del punto è quindi scelto calcolando il resto della divisione del numero di tappe per 15 e aggiungendo 1. Se le tappe sono 70, il colore scelto è il nero.
Lasciamo infatti il nero (colore numero zero) al caso in cui il punto resti confinato all'interno del cerchio critico.
Si vede bene che mentre alcuni punti si allontanano rapidamente dall'origine, altri si allontanano dopo un maggior numero di iterazioni, e infine altri, per quante iterazioni si facciano, rimangono sempre all'interno di un cerchio di centro l'origine e raggio 2 (detto cerchio critico). Si vede anche che punti molto vicini tra loro imboccano in genere percorsi totalmente diversi. È questo un esempio lampante di dinamica caotica.
Visto che abbiamo "acceso" sullo schermo ogni punto con il colore corrispondente al numero di iterazioni che gli occorrono per sfuggire dal cerchio critico, risultano dello stesso colore tutti i punti che, secondo la successione di Mandelbrot, escono dal cerchio dopo lo stesso numero di iterazioni (nel nostro esempio, in effetti, dopo un numero di iterazioni congruenti mod 15, ma nessuno ci vieta di immaginare un numero di colori, e di iterazioni, molto più ampio).
L'insieme di Mandelbrot è perciò il confine dell'insieme di punti che "scappano" verso l'infinito. E noi, osservando i colori, possiamo stimare la loro velocità di fuga.